Какого размера собакин??

Самолётом путешествовать комфортнее, потому, что БЫСТРЕЕ!!
И, возможно, у Вас будет возможность взять щенка ручной кладью, опять же, от его размера зависит.
Безотлагательно бегите в самую крупную ветлечебницу Вашего города, надёжнее всего - в государственную, и там озадачивайте персонал Вашей проблемой. Там же получите всю необходимую инфу и все справки. Проконсультируйтесь также на тот счёт, как сделать поездку наиболее незаметной для любимца. В смысле, как мягко и деликатно заставить его проспать всю дорогу (вот поэтому лучше самолётом). На волокиту с оформлением бумаг может потребоваться до месяца...
Далее - позвоните в аэропорт и досконально выясните, что Вам сделать для того, чтобы такого-то числа Вы и ваше солнышко без проблем отправились в солнечный Узбекистан. Интересуйтесь при этом теми условиями, которые ставит конкретно та авиакомпания, к услугам которой Вы собираетесь прибегнуть, так как требования эти могут незначительно разниться у различных авиаперевозчиков. Там же выясните, как именно Вы будите возвращаться, но, полагаю, после Узбекистана двухнедельный карантин Вам гарантируют
И ещё. Имейте при себе некоторую сумму, от 150 у.е., на взятки. Они могут понадобиться с обеих сторон российско-узбекской границы.

Счастливого Вам пути и лёгкого возвращения!